本の中でこの奇妙な数学。アレクセイ・グルシェンコによってロシア語に翻訳された「無限の端とそれを超えて」（コーパス出版社）、天文学者のデビッド・ダーリンと数学者のアグニヨ・バネルジーは、素数、無限大、カオスの数学的研究が現実の問題とどのように関係しているかについて話します世界-そして、近い将来に新しい発見を期待すべき場所について話します。 N + 1は、読者に無限大の研究と科学者がこの分野で達成した結果に関する一節を読むように勧めています。
ここからは行けません
数学の無限は常に制御不能です
あなたがそれを適切に扱い始めるまで。
ジェームズニューマン
私は自分自身を助けることはできません-私の意志に反して
無限は私を苦しめます。
アルフレッド・ド・ミュセ
スペースに制限はありますか？時間は始まりましたか、そしてそれは終わりますか？最大数はありますか？子供の頃からそういう質問をします。遅かれ早かれ、誰もが無限に興味を持ち始めます。しかし、無限は漠然とした概念ではなく、厳密な研究の対象です。そして、これらの研究の結果は、時には非常に逆説的であるため、信じがたいものです。
無限は、哲学者、神学者、美術評論家の間で議論の対象となっています。アメリカのジャズギタリスト兼作曲家のパットマティーニはかつて、「ミュージシャンでは、無限の感覚を求めています」と述べました。イギリスの詩人であり芸術家でもあるウィリアム・ブレイクは、私たちの感覚が物事の本質を理解することを妨げ、「知覚の扉がきれいにされれば、存在するものはすべてそのまま人間に見える-無限である」と信じていました。フランスの作家ギュスターヴ・フローベールは、それについて考えすぎる人々を待っている危険について警告しました：「あなたが無限に近づくほど、あなたは恐怖に沈む」。
科学者も時々無限に対処しなければならず、これらの出会いは必ずしも楽しいとは限りません。 1930年代に、素粒子の特性を研究している理論物理学者は、計算で得られた値が無限大に膨らむ、つまり、その傾向があることを発見しました。これは、例えば、電子-電子散乱の実験結果から、電子半径をゼロにしたときに起こりました。計算によると、この場合の粒子を取り巻く電場のエネルギーは無限に大きく、それはばかげています。混乱は、繰り込みと呼ばれる数学的トリックによって最終的に回避されました。これは今日の量子力学の標準的なトリックですが、一部の物理学者はまだその恣意的な性質に混乱しています。
それでは、物理的なスケールの反対側で何が起こるかを見てみましょう。宇宙論者は、宇宙のサイズが制限されているかどうか、または宇宙がすべての方向に無限に伸びているかどうかに関心があります。今日はそれを知りません。私たちが見ることができる宇宙の部分（少なくとも原則として）-いわゆる観測可能な宇宙-は、全体で約920億光年であり、光年は光が1年間に移動する距離です。観測可能な宇宙は、ビッグバン以来、光が地球に到達することができた宇宙全体の一部です。それ以外には、はるかに大きな、おそらく無限の空間が存在する可能性がありますが、これは決して到達することはできません。
アインシュタインが一般相対性理論を開発して以来、たとえば球の表面が湾曲しているように、私たちが住んでいる空間は湾曲している可能性があることを私たちは知っています-唯一の違いは、私たちの空間が2次元ではなく3次元であるということです。より厳密な言葉で言えば、時空（そしてそれらは互いに密接に関連している）は、学校で私たちによく知られている幾何学の規則に常に従うわけではありません。局所的なスケールでは、時空が湾曲していることは確かです。太陽や地球などの質量のあるオブジェクトの周囲では、負荷をかけるとゴムのシートのように曲がります。しかし、宇宙全体が湾曲している（非ユークリッド）か平坦であるかは、まだわかりません。その運命は最終的に宇宙の形に依存するため、宇宙論者はこれに強い関心を持っています。
宇宙が地球規模で湾曲している場合、球やドーナツのように閉じた形をとることができます。その場合、そのサイズは制限されますが、どんなに頑張ってもマイルストーンやエッジに到達することはできません。もう一つの選択肢は、ある種の鞍の形をした宇宙であり、無期限に続きます。この場合、「開いて」無限に拡張することも、有限のサイズにすることもできます。さらに、宇宙は全体として平坦である可能性があり、また有限または無限のいずれかである可能性があります。どちらのオプションが正しいかに関わらず、最初に宇宙が有限のサイズを持っていた場合、それはそのまま残ります（それは成長し続けることができますが）、そしてそれが無限である場合、それは常にこのようでした。
宇宙は常に無限であるという考えは、一見、一般に受け入れられているビッグバンの理論と矛盾します。ビッグバンによれば、物質とエネルギーの膨張は、最初は原子のサイズよりはるかに小さい領域から発生しました。しかし実際には、矛盾はありません。この最初は小さな領域は、ビッグバンのほんの一瞬後に、観測可能な宇宙（光がカバーできた距離によって決定されるもの）のサイズのみを具体化したのです。見ることは不可能だったでしょうが、宇宙全体は最初から無限であった可能性があります。他の選択肢-時空宇宙の無限大と有限-の両方が心で理解するのはそれほど簡単ではないという事実は、おそらく有限の宇宙を想像するのはさらに難しいでしょう。哲学者のトマス・ペインは次のように書いています。「空間に終わりがないことを理解することは何とも難しいですが、その有限性を理解することはさらに困難です。私たちが時間と呼ぶものの永遠の範囲を理解するための人間の力を超えていますが、時間がない時間を想像することはさらに不可能です。」
遠方の銀河の研究からこれまでに天文学者によって集められたデータは、宇宙が平らで無限であることを示唆しています。しかし、実宇宙の時空との関係で「無限」という言葉が正確に何を意味するのかは完全には明らかではありません。無限に離れた距離から情報を受け取ることは決してできないので、私たちは直接の測定によって空間と時間が終わりがないことを証明することは決してできません。もう一つの難しさは、空間と時間の本質です。物理学者は、それぞれプランク長とプランク時間として知られている最小の可能な距離と最小の可能な時間があると信じています。言い換えれば、空間と時間は連続的ではありませんが、量子化された、きめ細かい性質を持っています。プランク長はごくわずかで、1.6×10–35メートル、つまり陽子のサイズは100億です。また、プランク時間、つまり光がプランク長に等しい距離を移動する時間間隔はごくわずかで、10〜43秒未満です。それでも、時空のこの離散性の存在のために、物理的な宇宙の文脈で無限大について話すとき、人は非常に注意しなければなりません。数学者が発見したように、すべての無限大が同じというわけではありません。
ギリシャとインドの古代の哲学者は、2000年前に無限大についての考えを最初に書き留めました。紀元前6世紀のアナクシマンドロスは、すべてのものの起源を「アペイロン」（「無限大」）と見なしていました。1世紀後、彼の同胞であるエレアのゼノン（現在は南イタリアのルカニアとして知られている地域）は、最初に数学的な観点から無限大を見ました。
ゼノは、無限が満ちている危険を最初に感じました。アキレスが亀とのレースで競う最も有名な彼によって説明されたパラドックスは、懸念を引き起こしました。彼の勝利に自信を持って、私たちの神話上の英雄はカメに有利なスタートを与えます。しかし、ゼノは、アキレスがのんびりと爬虫類を追い抜くことができるのだろうかと尋ねます。結局のところ、彼がカメが旅を始めた場所に到達するまで、それは前方に這うでしょう。アキレスがそれらを隔てる新しい距離を越えるまでに、カメはさらに進んでいるでしょう。など、無限に。カメがいた場所にいくらアキレスが走っても、毎回少しずつ進むことができます。明らかに、私たちが時々無限を想像する方法とすべてが実際に起こる方法との間には一定の矛盾があります。ゼノ自身は、このパラドックスや他のパラドックスにとても恥ずかしくて困惑していたので、もはや無限大について考えないことに決めただけでなく、移動は不可能であるという結論に達しました！
同様の衝撃がピタゴラスと彼の追随者によって経験され、宇宙のすべてが最終的に整数で記述できると確信しました。結局のところ、通常の分数でさえ、1つの整数を別の整数で割ったものにすぎません。しかし、2の平方根（それぞれ1本の脚を持つ直角三角形の斜辺の長さ）は、この調和のとれた宇宙計画に適合しませんでした。それは「無理数」であり、2つの整数の比率としては表現できませんでした。小数の形で表現しようとすると、小数点以下の桁数が無限大になり、明確に繰り返される数値のグループは発生しません。ピタゴラス教徒はこれらすべての微妙なことを知りませんでした、彼らは2の平方根の形の卑劣な怪物が彼らの完全な世界に忍び込んだことを心配しただけでした、それで彼らはその存在を注意深く隠しました。
これらの2つの例は、無限大の理解に関連する基本的な問題を示しています。私たちの想像力は、まだ終わりに達していないことに簡単に対処できます。距離が別のステップでどのように増加し、別の距離が任意の数のオブジェクトに追加されるかを常に想像できます。しかし、一般化された意味での無限大は、概念として、頭に収まりません。数学者は、正確な量と注意深く定義された概念を扱うことに慣れているため、長い間それと戦ってきました。そして、確実に存在するが決して終わらないオブジェクトをどのように扱うことができますか？√2のような数（1、41421356237で始まり…そして明白な順序と予測可能な繰り返しなしでさらに続く）またはに押し付けられる曲線すべてをどんどん近づけて直線化すると同時に、無限大との出会いを避けますか？アリストテレスは、2種類の無限大があると主張して、可能な解決策を提案しました。アリストテレスによれば、現実には存在しない「実際の」（または「完了した」）無限大は、完全に実現され、ある時点で（数学的にまたは物理的に）実際に達成された無限大です。アリストテレスが自然界に明らかに現れていると信じていた「潜在的な」無限大-たとえば、季節の終わりのない交代や金のインゴットの無限の分割可能性（彼は原子について知らなかった）-は無限に進む無限大です時間。実無限と潜在無限のこの基本的な違いは、2000年以上にわたって数学に存在してきました。
1831年、カール・ガウス自身が「実無限の恐怖」について次のように語りました。
…私は、数学では決して許されない、完全な量としての無限の量の使用に抗議します。無限は単なるファソン・ド・パーラーですが、実際には、特定の関係が任意に近づく限界の問題であり、他の関係は制限なしに成長することができます。
*比喩（fr。）。
数学者は、潜在的な無限大の研究に限定して、無限級数、極限、微小量などの重要な概念を開発することができたため、数学的分析に到達しましたが、無限大を独立した数学的対象として認識しませんでした。それでも、中世においてさえ、彼らはパラドックスと解決できない問題に直面していました。それは、実際の無限大を単純に却下することができないことを意味しました。これらの解決できない問題は、あるオブジェクトのセットのすべての要素が同じサイズの別のオブジェクトのセットでペアを見つけることができるという原則から生じました。しかし、彼らがこの原理を無限に大きな集合に適用しようとしたとき、それはユークリッドによって最初に表現された常識的な考えと公然と矛盾しました：全体は常にそれのどの部分よりも大きいということです。たとえば、正の整数にも偶数が含まれているにもかかわらず、すべての正の整数のペアを形成し、それらのペアのみを形成することは非常に可能であるように見えました。1から2、2から4、3から6などに反対します。この問題を研究したガリレオは、無限大へのより賢明なアプローチを最初に提案し、「無限大は有限数とは異なる算術に従わなければならない」と述べました。
潜在的な無限大の概念は私たちの警戒を鈍らせ、あなたが無限大に近づくことができると私たちに考えさせます-あなたはたださらに進むか、もう少し長く行く必要があります。そして、これは、無限大は非常に大きな数と1兆、またはたとえば1兆兆兆は、たとえば1万または1000よりも無限に近いという一般的な神話からそう遠くはありません。実際、そうではありません。数値軸に沿っていくら動かしても、いくつカウントしても、1つのイオタを無限大に近づけることはできません。数1は、他の有限数と同じくらい無限遠（またはそれに近い）です。名前を付けるのに十分な想像力があったとしても。さらに、どんな数でも、どんなに小さくても、すでに無限大が存在するので、2回の検索で2つの数に進むことは、まったく役に立たないイベントです。要するに、無限大は、たとえば0と1の間の間隔にも存在します。これは、無限大が無限の数の分数（1 / 2、1 / 3、1 / 4など）を含むためです。無限大は巨大な有限数とは何の関係もありません。それを扱うために、私たちは彼らの捕虜から抜け出し、私たちの理解のための小道具としてそれらを使うのをやめなければなりません。
